(<Курс>.<Семестр на курсе>)
Срок действия программы: 2022-2023 уч.г.
Зав. кафедрой Герасимова Ольга Юрьевна
ции
Э1 Э2 Э3
решения СЛАУ /Пр/
Э1 Э2 Э3
Э1 Э2 Э3
Э1 Э2 Э3
Э1 Э2 Э3
Э1 Э2 Э3
Э1 Э2 Э3
решения нелинейных уравнений. Метод дихотомии. Метод хорд. Метод простых итераций.
Метод Ньютона. Модифицированный метод Ньютона-Шредера. Разностный метод Ньютона.
Метод секущих. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений. Метод про-
стых итераций. Метод Ньютона. Модифицированный метод Ньютона. Разностный метод
Ньютона. /Пр/
Э1 Э2 Э3
функций. Интерполяционные многочлены. /Пр/
Э1 Э2 Э3
ные приближения. /Пр/
Э1 Э2 Э3
ближения. Интерполяционные сплайны. /Пр/
Э1 Э2 Э3
сеток. /Пр/
Э1 Э2 Э3
Э1 Э2 Э3
решения СЛАУ. Метод релаксации. Погрешность округления в итерационных методах. /Ср/
Э1 Э2 Э3
Э1 Э2 Э3
Э1 Э2 Э3
цирования таблично заданных функций. Задача численного интегрирования. Квадратурные
формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. /Пр/
Э1 Э2 Э3
Э1 Э2 Э3
Э1 Э2 Э3
Э1 Э2 Э3
второго порядка. Сведение краевых задач к задаче Коши. /Пр/
Э1 Э2 Э3
прямых для уравнения колебаний струны. /Пр/
Э1 Э2 Э3
прямых для уравнения колебаний струны. /Ср/
Э1 Э2 Э3
Вопросы к зачету
1.Общая схема решения задач на ЭВМ.
2.Алгоритм построения графиков функций.
3.Масштабные множители и формулы преобразования координат.
4.Способы построения графиков.
5.Координатные сетки.
6.Автоматический выбор цены деления координатных сеток и масштабных множителей.
7.Построение графиков двух переменных.
8.Понятие конечных разностей.
9.Погрешность метода конечных разностей, понятие порядка точности метода.
10.Ошибки округлений, полная ошибка расчёта.
11.Численное решение алгебраических уравнений. Отделение и уточнение корней.
12.Метод половинного деления для численного решения алгебраических уравнений.
13.Метод итераций (последовательных приближений). Сходимость метода итераций.
14.Достаточное условие сходимости итерационного процесса метода итераций.
15.Метод итераций с параметром.
16.Метод Ньютона для численного решения алгебраических уравнений.
17.Метод хорд для численного решения алгебраических уравнений.
18.Численное интегрирование. Метод прямоугольников и трапеций.
19.Пример программы на численное интегрирование методом центральных прямоугольников.
20.Погрешность метода прямоугольников.
21.Метод Симпсона для численного интегрирования.
22.Численное решение дифференциальных уравнений. Метод Эйлера.
23. Погрешность метода Эйлера для численного решения дифференциальных уравнений.
28.Уточнённые методы Эйлера для численного решения дифференциальных уравнений.
29. Метод Рунге-Кутта для численного решения дифференциальных уравнений.
Шкала оценивания по показателям (max – 4 балла):
Соответствует в полной мере – 4 балла,
Соответствует частично – 1 балл,
Не соответствует – 0 баллов
С учетом набранной суммы баллов по всем показателям - max – 20 баллов.
Задание №1:Решение уравнения методом касательных
Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом касательных с точностью 0.001
Задание №2:Решение уравнения методом хорд
Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом хорд с точностью до 0.001.
Задание№3. Решение уравнения методом итераций
Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0.001
Модуль 1.
1. Погрешностью исходных данных называется
а) Погрешность задачи
б) Погрешность метода
в) Погрешность округлений
г) Абсолютная погрешность
д) Относительная погрешность
е) Невязка
ж) Полная погрешность
2. Метод последовательного исключения неизвестных решений СЛАУ с выбором главного элемента называется
а) Метод Гаусса
б)L-U метод Холецкого
в)Uт
-U метод Холецкого
г) Метод простых итераций
д) Метод Зейделя
е) Метод Якоби
3. Итерационный процесс нахождения корня уравнения F(x)=0 по формуле хк+1=хк -
называется
а) Метод дихотомии
б) Метод хорд
в) Метод Ньютона
г) Модифицированный метод Ньютона
д) Разностный метод Ньютона
е) Метод секущих
ж) Метод неподвижной точки
4. Итерационный процесс решения нелинейных систем вида F(x)=0, определяемый
формулой хк+1= хк-f(xk) =Ψ(хк) называется
а) метод неподвижной точки
б) Метод Ньютона
в)Модифицированный метод Ньютона
г) Разностный метод Ньютона
д) Метод Брауна
е)градиентного спуска
5. Норма матрицы А, определённая в L1 норме, имеет вид
а) ||А||= maxj=1…nΣ
n
i=1|aij| (сумма элементов столбцов)
б) ||А||= (наибольшее собственное значение матрицы АтА)
в) ||А||= maxj=1…nΣ
n
i=1|aij| (сумма элементов строк)
г) ||А||=max||x||=1(Ax,x)
6. Погрешностью метода называется
а) Погрешность исходных данных
б) Погрешность, возникающая при замене исходной математической модели другой
в) Погрешность арифметических действий
г) Величина, вычисляемая по правилу ∆а = | А – а |, где A- точное значение, а- приближенное
число
д) Величина, вычисляемая по правилу δа= где А- точное число, а – приближённое число
е) Величина ||f(а) ||
ж) Суммарная погрешность
7. L-U методом Холецкого решения СЛАУ называется
а) Метод последовательного исключения неизвестных решений СЛАУ с выбором главного
элемента
б) Метод решения СЛАУ, основанный на разложении матрицы системы в произведение левой и правой треугольных матриц
в) Метод решения СЛАУ, основанный на разложении симметричной матрицы системы в
произведении левой и правой треугольных матриц
г) Итерационный процесс решения СЛАУ Ах=В, заданный реккурентной формулой
хк+1=(ЕА)хк+В
д) Итерационный процесс решения СЛАУ Ах=В, заданный реккурентной формулой
Хк+1=ВХк+С, для подсчета i-ой компоненты(к+1) приближения используются уже найденные
на этом шаге новые значения первых (i-1) компонент
е) Итерационный процесс решения СЛАУ Ах=В, заданный реккурентной формулой Хк+1=-
xk+вD
-1
, где А=L+D+R, D-диагональная, L и R-левая и правая строго треугольные
матрицы
8. Методом Ньютона решения уравнений называется
а) Метод уточнения корня уравнения F(x)=0 на отрезке [а,в] основанный на методе С=(ва)/2; если f(a)f(c)<0, то С=в иначе С=а
б) Метод уточнения корня уравнения F(x)=0 на отрезке [а,в] основанный на методе С=а -
; если f(a)f(c)<0, то С=в иначе С=а
в) Итерационный процесс нахождения корня уравнения F(x)=0 по формуле хк+1=хк -
г) Итерационный процесс нахождения корня уравнения F(x)=0 по формуле хк+1=хк -
д) Итерационный процесс нахождения корня уравнения F(x)=0 по формуле хк+1=хк -
е) Итерационный процесс нахождения корня уравнения F(x)=0 по формуле хк+1=хк -
ж) Итерационный процесс нахождения корня уравнения F(x)=0 по формуле хк+1=Ψ(хк), где
Ψ(хк)=хк-f(xk)
9. Разностным методом Ньютона решения систем уравнений называется
а) Итерационный процесс решения нелинейных систем вида F(x)=0, определяемый формулой хк+1= хк-f(xk) =Ψ(хк)
б) Итерационный процесс решения нелинейных систем вида F(x)=0, определяемый формулой хк+1= хк-J
-1
(xk) F(хк)
в) Итерационный процесс решения нелинейных систем вида F(x)=0, определяемый формулой хк+1= хк-J
-1
(x0) F(хк)
г) Итерационный процесс решения нелинейных систем вида F(x)=0, определяемый формулой
хк+1= хк-J
-1
(xk,hk) F(хк)
д) Итерационный процесс решения нелинейных систем вида , определяемый
формулами , где gk= ;
pk=
е) Итерационный процесс решения нелинейных систем вида , определяемый
формулой где Ф(х,y)=f2
(x,y)+g
2
(x,y)
10. Формула ||А||= maxj=1…nΣ
n
i=1|aij| (сумма элементов строк) определяет
а)L1- норму матрицы A
б)L2- норму матрицы A
в)L∞- норму матрицы A
г)Lр- норму матрицы A
Модуль 2.
1. Подмена одной функции другой называется
1) Интерполяция
2) Экстраполяция
3) Аппроксимация
4) Сплайн.
2. Многочлен
n
i
i i i i i i n
i i n
n
x x x x x x x x
x x x x x x x x
L x
0
0 1 1
0 1 1
( ) ... ( )( ) ... ( )
( ) ... ( )( ) ... ( )
1) Интерполяционный многочлен Лагранжа
2) Интерполяционный многочлен Ньютона
3) Интерполяционный многочлен Чебышева
4) Интерполяционный многочлен Лежандра
3. Вычисление определенного интеграла по формуле ( )( )
1
1
i i
n
i
i
I f x x называется
формулой
1) Прямоугольников
2) Трапеций
3) Симпсона
4) Лагранжа
4. Вычисление определенного интеграла по формуле ( )
1
i
n
i
i
I A f x
называется
1) Общей линейной квадратурной формулой.
2) Квадратурной формулой Гаусса
3) Квадратурной формулой Чебышева
4) Квадратурной формулой Эрмита
5. Приближенное равенство
h
y
f x
0
'( )
справедливо на основе
1) Линейной интерполяции
2) Квадратичной интерполяции
3) Кубической интерполяции
6. Формула h
f
h
y y
f x
i i i
i
2
''( )
'( )
1 1
называется формулой
1) Левой аппроксимации '( )
i
f x с остаточным членом первого порядка точности
2) Правой аппроксимации '( )
i
f x с остаточным членом первого порядка точности
3) Левой аппроксимации '( )
i
f x с остаточным членом второго порядка точности
4) Правой аппроксимации '( )
f x с остаточным членом второго порядка точности
7. Вычисление определенного интеграла по формуле
( ) ( ))
2
( ) ( )
(
1 1
0
n
n
f x f x
f x f x
I h называется формулой
1) Прямоугольников
2) Трапеций
3) Симпсона
4) Лагранжа
8. Многочлен T (x) cos(narccos x)
n называется
1) Интерполяционный многочлен Лагранжа
2) Интерполяционный многочлен Ньютона
3) Интерполяционный многочлен Чебышева
4) Интерполяционный многочлен Лежандра
9. Функция, дифференцируемая k раз, и на каждом из заданных отрезков являющаяся
многочленом степени m, называется
1) Интерполяция
2) Экстраполяция
3) Аппроксимация
4) Сплайн.
10. Формула 1 1 2
6
'''( )
2
'( ) h
f
h
y y
f x
i i i
i
называется формулой
1) Левой аппроксимации '( )
i
f x с остаточным членом первого порядка точности
2) Правой аппроксимации '( )
i
f x с остаточным членом первого порядка точности
3) Левой аппроксимации '( )
i
f x с остаточным членом второго порядка точности
4) Аппроксимации '( )
i
f x с остаточным членом второго порядка точности
Модуль 3.
1. Формула y y f t y t dt
x
x
n n
0
( , ( )) 1 0 решения задачи Коши называется методом
1) Последовательных приближений
2) Эйлера
3) Ньютона
2. Формула ( , )
i 1 i i i
y y hf x y решения задачи Коши называется
1) Методом Эйлера
2) Методом Эйлера-Коши
3) Разностным методом Эйлера
4) Обратным методом Эйлера
3. Формула
2 1
) ( )
2
(
)
2
(
2 2 1
p
i i
i
y h
h
y
h
R решения задачи Коши называется
1) Поправкой Ричардсона
2) Методом Рунге-Кутты
3) Методом Кутты-Мерсона
4) Модификацией Фельберга
4. Формула ( ( , ) ( , ( , )))
2
i 1 i i i i i i i
f x y f x h y hf x y
h
y y решения задачи Коши называется
1) Методом Хойна
2) Методом Рунге-Кутты
3) Методом средней точки
4) Методом Ньютона
5. Формула )
12
5
2
1
(
2
2
1 1
i i i i i
y y h f f f решения задачи Коши называется
1) Методом Адамса
2) Методом Адамса-Бошфорта
3) Методом Адамса-Моултона
4) Методом трапеций
6. Явно-неявный метод Эйлера решения задачи Коши эквивалентен методу
1) Трапеций
2) Предиктор-корректорному методу Адамса первого порядка
3) Предиктор-корректорному методу Адамса второго порядка
4) Милна
7. Какой из методов решения краевой задачи разработан И.М. Гельфандом и О.В. Локуциевским
1) Метод пристрелки
2) Метод редукции
3) Метод дифференциальной прогонки
4) Метод штрафных функций
1) Пикара
2) Эйлера
3) Ньютона
4) Лагранжа
9. Первым приближением для задачи Коши y' y, y(0) 1 является функция
1) y1 1
2) y x 1
3) y 1 x 1
4) y 1 x 1
10. Основной метод для решения начально-граничных задач для уравнений в частных
производных называется
1) Сеточный метод
2) Метод касательных
3) Метод секущих
4) Метод средней точки
Главное в период подготовки к лекционным занятиям – научиться методам самостоятельного умственного труда, сознательно развивать свои творческие способности и овладевать навыками творческой работы. Для этого необходимо строго соблюдать дисциплину учебы и поведения. Четкое планирование своего рабочего времени и отдыха является необходимым условием для успешной самостоятельной работы.
В основу его нужно положить рабочие программы изучаемых в семестре дисциплин.
Каждому обучающемуся следует составлять еженедельный и семестровый планы работы, а также план на каждый рабочий день. С вечера всегда надо распределять работу на завтрашний день. В конце каждого дня целесообразно подводить итог работы: тщательно проверить, все ли выполнено по намеченному плану, не было ли каких-либо отступлений, а если были, по какой причине это произошло. Нужно осуществлять самоконтроль, который является необходимым условием успешной учебы. Если что-то осталось невыполненным, необходимо изыскать время для завершения этой части работы, не уменьшая объема недельного плана.
Самостоятельная работа на лекции. Слушание и запись лекций – сложный вид вузовской аудиторной работы. Внимательное слушание и конспектирование лекций предполагает интенсивную умственную деятельность обучающегося. Краткие записи лекций, их конспектирование помогает усвоить учебный материал. Конспект является полезным тогда, когда записано самое существенное, основное и сделано это самим обучающимся.
Не надо стремиться записать дословно всю лекцию. Такое «конспектирование» приносит больше вреда, чем пользы. Запись лекций рекомендуется вести по возможности собственными формулировками. Желательно запись осуществлять на одной странице, а следующую оставлять для проработки учебного материала самостоятельно в домашних условиях.
Конспект лекции лучше подразделять на пункты, параграфы, соблюдая красную строку. Этому в большой степени будут способствовать пункты плана лекции, предложенные преподавателям. Принципиальные места, определения, формулы и другое следует сопровождать замечаниями «важно», «особо важно», «хорошо запомнить» и т.п. Можно делать это и с помощью разноцветных маркеров или ручек. Лучше если они будут собственными, чтобы не приходилось просить их у однокурсников и тем самым не отвлекать их во время лекции.
Целесообразно разработать собственную «маркографию» (значки, символы), сокращения слов. Не лишним будет и изучение основ стенографии. Работая над конспектом лекций, всегда необходимо использовать не только учебник, но и ту литературу, которую дополнительно рекомендовал лектор. Именно такая серьезная, кропотливая работа с лекционным материалом позволит глубоко овладеть формируемыми компетенциями.
Методические указания к практическим занятиям.
Практические занятия ориентируют преподавателя и обучающегося на интерактивный процесс усвоения курса, где рассматриваются сложные проблемные вопросы программы, с обязательным использованием источниковедческой базы. Это связано с основной дидактической задачей практических занятий – обучению обучающихся анализу источников и формированием навыков работы с научной литературой. Подобный подход стимулирует самостоятельное творческое отношение к профессии и способствует подготовке к преподавательской деятельности. Происходит обучение навыкам публичной дискуссии, профессионала, ориентированного на умение не только высказывать и отстаивать личностную позицию, но и на принятие точки зрения оппонентов, поиска группового консенсуса в рассмотрении проблемы.
Целью практических занятий является закрепление, расширение и углубление знаний по темам лекций, выработка навыков публичного выступления и дискуссии, а также понимание и практическое использование положений и методов, составляющих дисциплину.
Самостоятельная работа обучающихся предусмотрена учебным планом и должна способствовать более глубокому усвоению изучаемого курса, формированию навыков исследовательской работы и ориентировать обучающихся на умение применять теоретические знания на практике.
Самостоятельная работа обучающихся предполагает дальнейшее развитие исследовательских способностей у обучающихся. В процессе самостоятельной работы обучающийся обучается профессиональной работе с первоисточниками, их поиску и критическому осмыслению. На данном этапе предлагается формирование и закрепление навыков по выявлению проблемы, ее формулировка, постановка целей исследования, систематизация и анализ литературы, оформление и аргументация своей позиции. Этот тип работы демонстрирует уровень квалификации обучающегося и подтверждает его исследовательский статус.
В процессе изучения данной дисциплины выделяется два вида самостоятельной работы – аудиторная, под руководством преподавателя, и внеаудиторная. Аудиторная самостоятельная работа по дисциплине выполняется на учебных занятиях под непосредственным руководством преподавателя и по его заданию. Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется обучающимся по заданию преподавателя, но без его непосредственного участия.
Основными видами самостоятельной работы обучающихся без участия преподавателей являются: формирование и усвоение содержания конспекта лекций на базе рекомендованной лектором учебной литературы, включая информационные образовательные ресурсы; подготовка к практическим занятиям; написание рефератов, эссе; выполнение контрольных работ; выполнение микроисследований.
Внеаудиторные самостоятельные занятия обучающихся представляют собой логическое продолжение аудиторных занятий, проводятся по заданию преподавателя, который инструктирует обучаемых и устанавливает сроки выполнения задания. В отличие от других форм организации учебного процесса затраты времени на выполнение этой работы не регламентируются расписанием. Режим и продолжительность работы выбирает сам обучаемый в зависимости от своих способностей и конкретных условий.
Основными видами самостоятельной работы обучающихся с участием преподавателей являются: коллоквиум как форма контроля освоения теоретического содержания дисциплин; прием и разбор домашних заданий (в часы практических занятий).
Преподаватель учитывает результаты самостоятельной работы при подведении итогов освоения обучающимися учебной дисциплины.
Методические указания к зачету
Зачеты, как правило, служат формой проверки усвоения учебного материала практических и семинарских занятий, а также проверки результатов учебных и производственных практик.
При подготовке к зачёту обучающийся должен правильно и рационально распланировать свое время, чтобы успеть качественно и на высоком уровне подготовиться к ответам по всем вопросам. Зачёт призван побудить обучающегося получить дополнительно новые знания. Во время подготовки к зачёту обучающиеся также систематизируют знания, которые они пробрели при изучении разделов курса. Это позволяет им уяснить логическую структуру курса, объединить отдельные
темы в единую систему, увидеть перспективы развития законодательства.
Самостоятельная работа по подготовке к зачёту во время сессии должна планироваться обучающимся, исходя из общего объема вопросов, вынесенных на зачёт и дней, отведенных на подготовку к зачёту. При этом необходимо, чтобы последний день или часть его, был выделен для дополнительного повторения всего объема вопросов в целом. Это позволяет обучающемуся самостоятельно перепроверить уровень усвоения материала. Важно иметь в виду, что для целей воспроизведения материала учебного курса большую вспомогательную роль может сыграть информация, которая содержится в рабочей программе курса.
Тщательная подготовка к зачету и начинается с первого занятия, поскольку лишь систематический, повседневный, рационально организованный учебный труд может обеспечить успешный результат.
С вопросами, выносимыми на зачет, обучающийся может ознакомиться заранее. При подготовке устных ответов на них необходимо последовательно восстановить в памяти материал каждой темы, каждого раздела курса. Для этой цели следует использовать конспекты лекций и первоисточников, записи, сделанные при подготовке к семинарам, а также учебную и научную литературу.
В зависимости от индивидуальных навыков и способов самостоятельной работы обучающийся может делать краткие конспекты вариантов ответов, повторять их устно на память, составлять тезисы или планы ответов. Важно также правильно распределить время, отведенное на подготовку таким образом, чтобы имелась возможность повторить изученный материал накануне дня зачета. Не следует пренебрегать консультациями, которые организует кафедра и преподаватель по каждому предмету во время сессии и в межсессионный период. Здесь можно выяснить все непонятные толкования, незнакомые термины и формулировки, уточнить те или иные положения, сведения и идеи, организационные вопросы, связанные с порядком проведения зачета.
За отведенное на зачете время для подготовки к ответу необходимо составить примерный план (последовательную схему) ответа с включением в него всех важнейших проблем и значимых нюансов в предполагаемой логике изложения материала. При этом совершенно не обязательно подробно прописывать все содержание, поскольку это занимает лишнее время и затрудняет выделение опорных мыслей и главных идей.
При приеме зачета у лиц с ограниченными возможностями здоровья допускается присутствие в аудитории лица, оказывающего обучающемуся соответствующую помощь.
Рекомендации по обучению лиц с ограниченными возможностями здоровья.
В соответствии с методическими рекомендациями Минобрнауки РФ (утв. 8 апреля 2014 г. N АК-44/05вн) в курсе будут использованы социально-активные и рефлексивные методы обучения с целью оказания помощи в установлении полноценных межличностных отношений с другими обучающимися, создании комфортного психологического климата в
Освоение дисциплины лицами с ОВЗ осуществляется с использованием средств обучения общего и специального назначения (персонального и коллективного использования). Материально-техническое обеспечение приспособлено (аудитории) к нуждам лиц с ОВЗ.
Форма проведения промежуточной аттестации для лиц с ОВЗ устанавливается с учетом индивидуальных психофизических особенностей; предусматривается доступная форма предоставления заданий оценочных средств, а именно:
•в печатной или электронной форме (для лиц с нарушениями опорно-двигательного аппарата);
•в печатной форме или электронной форме с увеличенным шрифтом и контрастностью (для лиц с нарушениями слуха, речи, зрения);
•методом чтения задания вслух (для лиц с нарушениями зрения).
Обучающихся с ОВЗ увеличивается время на подготовку ответов на контрольные вопросы. Для таких обучающихся предусматривается доступная форма предоставления ответов на задания, а именно:
•письменно на бумаге или набором ответов на компьютере (для лиц с нарушениями слуха, речи);
•устно (для лиц с нарушениями зрения, опорно-двигательного аппарата).
При необходимости для обучающихся с ОВЗ процедура оцениваниярезультатов обучения может проводиться в несколько этапов.
При возникновении особых обстоятельств, освоение дисциплины осуществляется с применением электронного обучения и дистанционных образовательных технологий.