Срок действия программы: 2022-2023 уч.г.
Зав. кафедрой Галямова Э.Х.
ции
Э3 Э4
Э1 Э2
Вопросы к экзамену
1. Функция: основные понятия и способы ее задания.
2. Классификация функций.
3. Основные элементарные функции и их графики. Элементарные функции.
5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.
6. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела.
7. Теоремы о пределе суммы и произведения.
8. Теорема об ограниченности последовательности, имеющей конечный предел.
9. Теорема о пределе частного.
10. Теоремы о предельном переходе в неравенствах.
11. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса.
12. Принцип вложенных отрезков.
13. Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности.
14. Критерий Коши для сходимости последовательности.
15. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
16. Замечательные пределы.
17. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших. О символика.
18. Односторонние пределы.
19. Определения непрерывности функции в точке.
20. Классификация точек разрыва.
21. Непрерывность и характер точек разрыва монотонной функции.
22. Непрерывность функции на множестве. Теоремы Больцано-Коши о нуле и о промежуточном значении.
23. Теоремы Вейерштрасса для непрерывных на множестве функций.
24. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.
25. Определение производной и ее геометрический смысл. Уравнения касательной и нормали к кривой.
26. Производные основных функций.
27. Дифференцируемость функции. Связь непрерывности и дифференцируемости функции.
28. Дифференциал функции.
29. Производная постоянной величины, суммы, произведения, частного.
30. Производная сложной функции, обратной функции.
31. Производная параметрически и неявно заданной функции.
32. Метод логарифмического дифференцирования.
33. Гиперболические функции и их производные.
34. Производные и дифференциалы высших порядков.
35. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
36. Правило Лопиталя.
37. Формула Тейлора. Формулы остаточного члена.
38. Возрастающая функция. Необходимое условие и достаточное условие возрастания функции.
39. Максимум и минимум. Необходимое и достаточное условия экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
40. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Необходимое и достаточное условия выпуклости.
41. Асимптоты плоской кривой.
42. Понятие метрического пространства. Евклидово n-мерное пространство.
43. Понятие функции многих переменных.
44. Предел функции в точке. Повторные пределы.
45. Непрерывные функции и их свойства.
46. Свойства функций, непрерывных на компактном множестве.
47. Теоремы Вейерштрасса для функций, непрерывных на компактном множестве.
48. Равномерная непрерывность.
49. Частные производные. Дифференцируемость функции по совокупности аргументов.
50. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции двух переменных.
51. Геометрический смысл частных производных функции двух аргументов. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
52. Производная сложной функции. Полная производная.
53. Инвариантность формы полного дифференциала.
54. Производная по направлению. Градиент.
55. Производные и дифференциалы высших порядков.
56. Формула Тейлора. Формулы остаточного члена.
57. Локальный экстремум. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
58. Глобальный экстремум функции многих переменных.
59. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
60.
61. Первообразная. Теорема об общем виде первообразной.
62. Свойства неопределенного интеграла
63. Таблица основных интегралов
64. Замена переменной в неопределенном интеграле.
65. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
66. Метод выделения полного квадрата.
67. Метод неопределенных коэффициентов при интегрировании рациональных функций.
68. Интегрирование простейших иррациональных выражений.
69. Интегрирование дифференциальных биномов.
71. Определение интеграла Римана.
72. Условия интегрируемости функции.
73. Некоторые классы интегрируемых по Риману функций.
74. Свойства определенного интеграла.
75. Оценки определенного интеграла.
76. Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
77. Формула Ньютона-Лейбница.
78. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.
79. Геометрические приложения интеграла Римана.
80. Несобственные интегралы.
81. Операции над рядами.
82. Интегральный признак Коши для знакоположительных числовых рядов.
83. Признак Коши для знакоположительных числовых рядов.
84. Предельный признак Коши для знакоположительных числовых рядов.
85. Признак Д`Аламбера для знакоположительных числовых рядов.
86. Радикальный признак Коши для знакоположительных числовых рядов.
87. Признак Лейбница для знакочередующихся рядов.
88. Знакопеременный ряд.
89. Функциональные ряды.
90. Равномерно сходящиеся функциональные ряды.
91. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.
92. Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося на сегменте ряда.
93. Теорема о почленном интегрировании равномерно сходящегося на сегменте ряда.
94. Теорема о почленном дифференцировании равномерно сходящегося на сегменте ряда.
95. Степенные ряды.
96. Определение радиуса сходимости степенного ряда.
97. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложения функций .
98. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложения функций .
99. Ряды Фурье.
100. Одно замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье.
101. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.
102. Ряд Фурье для функции с периодом .
103. О разложении в ряд Фурье непериодической функции.
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ И СОДЕРЖАНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ (комплект заданий приводится в ФОС)
Главное в период подготовки к лекционным занятиям – научиться методам самостоятельного умственного труда, сознательно развивать свои творческие способности и овладевать навыками творческой работы. Для этого необходимо строго соблюдать дисциплину учебы и поведения. Четкое планирование своего рабочего времени и отдыха является необходимым условием для успешной самостоятельной работы.
В основу его нужно положить рабочие программы изучаемых в семестре дисциплин.
Каждому студенту следует составлять еженедельный и семестровый планы работы, а также план на каждый рабочий день. С вечера всегда надо распределять работу на завтрашний день. В конце каждого дня целесообразно подводить итог работы: тщательно проверить, все ли выполнено по намеченному плану, не было ли каких-либо отступлений, а если были, по какой причине это произошло. Нужно осуществлять самоконтроль, который является необходимым условием успешной учебы. Если что-то осталось невыполненным, необходимо изыскать время для завершения этой части работы, не уменьшая объема недельного плана.
Самостоятельная работа на лекции. Слушание и запись лекций – сложный вид вузовской аудиторной работы. Внимательное слушание и конспектирование лекций предполагает интенсивную умственную деятельность студента. Краткие записи лекций, их конспектирование помогает усвоить учебный материал. Конспект является полезным тогда, когда записано самое существенное, основное и сделано это самим студентом.
Не надо стремиться записать дословно всю лекцию. Такое «конспектирование» приносит больше вреда, чем пользы. Запись лекций рекомендуется вести по возможности собственными формулировками. Желательно запись осуществлять на одной странице, а следующую оставлять для проработки учебного материала самостоятельно в домашних условиях.
Конспект лекции лучше подразделять на пункты, параграфы, соблюдая красную строку. Этому в большой степени будут способствовать пункты плана лекции, предложенные преподавателям. Принципиальные места, определения, формулы и другое следует сопровождать замечаниями «важно», «особо важно», «хорошо запомнить» и т.п. Можно делать это и с помощью разноцветных маркеров или ручек. Лучше если они будут собственными, чтобы не приходилось просить их у однокурсников и тем самым не отвлекать их во время лекции.
Целесообразно разработать собственную «маркографию» (значки, символы), сокращения слов. Не лишним будет и изучение основ стенографии. Работая над конспектом лекций, всегда необходимо использовать не только учебник, но и ту литературу, которую дополнительно рекомендовал лектор. Именно такая серьезная, кропотливая работа с лекционным материалом позволит глубоко овладеть формируемыми компетенциями.
Методические указания к практическим занятиям.
Практические занятия ориентируют преподавателя и студента на интерактивный процесс усвоения курса, где
Целью практических занятий является закрепление, расширение и углубление знаний по темам лекций, выработка навыков публичного выступления и дискуссии, а также понимание и практическое использование положений и методов, составляющих дисциплину.
Семинар проводится по узловым и наиболее сложным вопросам (темам, разделам) учебной программы. Он может быть построен как на материале одной лекции, так и на содержании обзорной лекции, а также по определённой теме без чтения предварительной лекции. Главная и определяющая особенность любого семинара – наличие элементов дискуссии, проблемности, диалога между преподавателем и студентами и самими студентами.
При подготовке классического семинара желательно придерживаться следующего алгоритма:
а) разработка учебно-методического материала: формулировка темы, соответствующей программе и стандарту; определение дидактических, воспитывающих и формирующих целей занятия; выбор методов, приемов и средств для проведения семинара; подбор литературы для преподавателя и студентов; при необходимости проведение консультаций для студентов;
б) подготовка обучаемых и преподавателя: составление плана семинара из отдельных вопросов; предоставление студентам времени (не менее недели) дней для подготовки к семинару; предоставление рекомендаций о последовательности изучения литературы (учебники, учебные пособия, руководства и положения, конспекты лекций, статьи, справочники, информационные сборники и др.); создание набора наглядных пособий.
Практическое занятие подразумевает два виды работ: подготовку сообщения на заданную тему и участие в обсуждении проблемы, затронутой сообщением.
Для более точного понимания материала практических занятий рекомендуется перед каждым из занятий прочитать соответствующую главу в рекомендуемой литературе. Подготовку к практическим занятиям следует начинать как минимум за неделю до его начала. Прежде всего, необходимо познакомиться с темой и вопросами занятия. Обязательными компонентами подготовки к практическим занятиям являются доскональный анализ источников и прочтение научной литературы. Так же необходим поиск информации в изданиях из дополнительного списка литературы, сети Интернет, других источников. Таким образом, обучающиеся должны внимательно разобрать каждый вопрос, записав наиболее важные факты, подходы и концепции в тетрадь.
На семинар желательно являться с запасом сформулированных идей, хорошо, если они будут собственного производства; если вы собираетесь пользоваться чужими формулировками, то постарайтесь в них сориентироваться как можно лучше. Выступления должны быть по возможности компактными и в то же время вразумительными. На практических занятиях обучающиеся дают развернутые ответы на поставленные вопросы, дополняют, не повторяя уже сказанного другими. Рассмотрение каждого вопроса заканчивается подведением итогов, формулированием наиболее важных выводов, которые следует записать в тетрадь.
Подводя итоги семинара, можно использовать следующие критерии (показатели) оценки ответов: полнота и конкретность ответа; последовательность и логика изложения; связь теоретических положений с практикой; обоснованность и доказательность излагаемых положений; наличие качественных и количественных показателей; наличие иллюстраций к ответам в виде исторических фактов, примеров и пр.; уровень культуры речи; использование наглядных пособий и т.п.
В конце семинара рекомендуется дать оценку всего семинарского занятия, обратив особое внимание на следующие аспекты: качество подготовки; степень усвоения знаний; активность; положительные стороны в работе студентов; ценные и конструктивные предложения; недостатки в работе студентов; задачи и пути устранения недостатков.
Методические указания к самостоятельной работе.
Самостоятельная работа обучающихся предусмотрена учебным планом и должна способствовать более глубокому усвоению изучаемого курса, формированию навыков исследовательской работы и ориентировать обучающихся на умение применять теоретические знания на практике.
Самостоятельная работа обучающихся предполагает дальнейшее развитие исследовательских способностей у студента. В процессе самостоятельной работы студент обучается профессиональной работе с первоисточниками, их поиску и критическому осмыслению. На данном этапе предлагается формирование и закрепление навыков по выявлению проблемы, ее формулировка, постановка целей исследования, систематизация и анализ литературы, оформление и аргументация своей позиции. Этот тип работы демонстрирует уровень квалификации студента и подтверждает его исследовательский статус.
В процессе изучения данной дисциплины выделяется два вида самостоятельной работы – аудиторная, под руководством преподавателя, и внеаудиторная. Аудиторная самостоятельная работа по дисциплине выполняется на учебных занятиях под непосредственным руководством преподавателя и по его заданию. Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется студентом по заданию преподавателя, но без его непосредственного участия.
Основными видами самостоятельной работы студентов без участия преподавателей являются: формирование и усвоение содержания конспекта лекций на базе рекомендованной лектором учебной литературы, включая информационные образовательные ресурсы; подготовка к практическим занятиям; написание рефератов, эссе; выполнение контрольных работ; выполнение микроисследований.
Внеаудиторные самостоятельные занятия студентов представляют собой логическое продолжение аудиторных занятий, проводятся по заданию преподавателя, который инструктирует обучаемых и устанавливает сроки выполнения задания. В отличие от других форм организации учебного процесса затраты времени на выполнение этой работы не регламентируются расписанием. Режим и продолжительность работы выбирает сам обучаемый в зависимости от своих способностей и конкретных условий.
Основными видами самостоятельной работы студентов с участием преподавателей являются: коллоквиум как форма
Преподаватель учитывает результаты самостоятельной работы при подведении итогов освоения обучающимися учебной дисциплины.
Методические указания к экзамену.
Экзамены являются контрольным этапом изучения дисциплин (модулей) и имеют целью проверку знаний обучающихся по теории, выявление умений и навыков применения полученных знаний при решении практических задач, а также навыков самостоятельной работы с учебной и научной литературой.
Форма проведения экзамена (устно, письменно, по экзаменационным билетам или без билетов, или иная) определяется кафедрой. При чтении дисциплины несколькими преподавателями порядок проведения экзамена определяется заведующим кафедрой.
При проведении экзамена в устной форме по экзаменационным билетам обучающийся имеет право на подготовку к ответу в течение 30-45 мин.
Во время экзамена обучающиеся могут пользоваться учебными программами, а также, с разрешения экзаменатора, справочной литературой и другими пособиями. Присутствие на экзаменах и зачетах посторонних лиц без разрешения декана факультета не допускается.
При приеме экзамена у лиц с ограниченными возможностями здоровья допускается присутствие в аудитории лица, оказывающего обучающемуся соответствующую помощь.
Подготовку к экзамену необходимо целесообразно начать с планирования и подбора нормативно-правовых источников и литературы. Прежде всего, следует внимательно перечитать учебную программу и программные вопросы для подготовки к экзамену, чтобы выделить из них наименее знакомые. Далее должен следовать этап повторения всего программного материала. На эту работу целесообразно отвести большую часть времени. Следующим этапом является самоконтроль знания изученного материала, который заключается в устных ответах на программные вопросы, выносимые на экзамен. Тезисы ответов на наиболее сложные вопросы желательно записать, так как в процессе записи включаются дополнительные моторные ресурсы памяти. Предложенная методика непосредственной подготовки может быть и изменена. Так, для студентов, которые считают, что они усвоили программный материал в полном объеме и уверены в прочности своих знаний, достаточно беглого повторения учебного материала. Основное время они могут уделить углубленному изучению отдельных, наиболее сложных, дискуссионных проблем.
При подготовке к ответу, а также при ответе не обязательно придерживаться той последовательности вопросов, которая дана в билетах. Записи ответов лучше делать в виде развернутого плана, их можно дополнить цифрами, примерами, фактами, а также сослаться на необходимые нормативные акты и другие источники. Ответ должен быть построен в форме свободного рассказа. Важно не только верно изложить соответствующее положение, но и дать его глубокое теоретическое обоснование.
Само содержание ответа целесообразно разделить на три части: вступление, основная часть, заключение. Во вступлении можно перечислить все проблемы, которые вы собираетесь осветить, обосновать их актуальность, потом в основной части ответа надо детально развернуть каждую из обозначенных проблем, а в заключении придать ходу мыслей завершенность, подвести итог и сделать выводы. Вместе с тем студент должен быть готов к уточняющим вопросам, а также к решению практических задач в рамках основной проблематики вопроса.