(<Курс>.<Семестр на курсе>)
Срок действия программы: 2022-2023 уч.г.
Зав. кафедрой Галямова Э.Х.
ции
Э1 Э3 Э5
/Ср/
Э1 Э2 Э4
/Ср/
Э1 Э3 Э6
Э1 Э6 Э7
Критерий подгруппы. Смежные классы. Теорема Лагранжа
/Ср/
Э1 Э3
Э1 Э4 Э7
/Ср/
Э1 Э3
Э1 Э6
Э9
Э2 Э3 Э4
Э4 Э6 Э7
/Ср/
Э1 Э3 Э5
Э2 Э4 Э6
Э2 Э3 Э4
Э3 Э5
Э2 Э3 Э4
Э1 Э3
Э1 Э4 Э7
Э1 Э7 Э8
Э1 Э4 Э7
Э2 Э3 Э4
Э1 Э5 Э8
Э1 Э6 Э7
Э1 Э6 Э8
Э4 Э7 Э9
/Ср/
Э1 Э5 Э8
Э2 Э3 Э4
Э1 Э4 Э7
Э2 Э3 Э4
Э2 Э3 Э4
/Лек/
Э4 Э6 Э7
Коды с обнаружением и исправлением ошибок. Кодовое расстояние. Расстояние Хэмминга.
Код Хэмминга для исправления одного замещения.
Изоморфизм полей комплексных и действительных чисел. Подполе. Критерий подполя.
Алгебраическое расширение поля. Конечные расширения полей.
/Ср/
Э1 Э5
Э2 Э3 Э4
Примерный перечень вопросов для подготовки к зачету:
Раздел: Алгебраические системы
1. Алгебраические операции, их свойства.
2. Нейтральный элемент. Теорема о единственности нейтрального элемента.
3. Симметричный элемент. Теорема о единственности симметричного элемента.
4. Бинарные отношения. Виды бинарных отношений. Отношение эквивалентности.
5. Алгебра. Гомоморфизм. Теорема о гомоморфизме.
6. Алгебра. Изоморфизм. Теоремы об изоморфизме.
7. Подалгебра. Замыкание, его свойства. Система образующих.
8. Полугруппа. Определяющие соотношения. Теорема Маркова-Поста. Моноид.
9. Группа. Свойства группы. Доказательство одного из свойств (по указанию преподава-теля).
10. Подгруппа. Критерий подгруппы. Смежные классы.
11. Группа классов вычетов. Теорема Лагранжа.
12. Гомоморфизм групп. Свойства гомоморфизма.
13. Ядро гомоморфизма. Нормальная подгруппа. Критерий нормальности подгруппы.
14. Факторгруппа. Теорема о гомоморфизме.
15. Кольцо. Свойства кольца. Доказательство одного из свойств (по указанию преподавателя).
16. Области целостности. Подкольцо. Критерий подкольца.
17. Идеал. Критерий идеала. Факторкольцо.
Раздел: Делимость и простые числа
1. Кольцо целых чисел. Отношение делимости, его простейшие свойства. Теорема о делении с остатком.
2. НОД и НОК. Линейное представление НОД. Связь НОК и НОД.
3. Линейные диофантовы уравнения.
4. Алгоритм Евклида.
5. Расширенный алгоритм Евклида.
6. Простые числа. Основная теорема арифметики.
7. Целые числа по модулю m. Кольцо целых чисел по модулю m. Полная система остат-ков, её виды.
8. Линейные уравнения по модулю m. Китайская теорема об остатках.
9. Списочное представление чисел. Короткие и длинные числа. Классические алгоритмы целочисленной арифметики.
10. Точные вычисления, использующие модулярную арифметику: случай одного модуля.
Раздел: Теория многочленов
1. Кольцо многочленов от одной переменной.
2. Теорема о делении многочленов с остатком. Теорема о кольце главных идеалов.
3. НОД и НОК многочленов. Теоремы существования и единственности НОД и НОК.
4. Алгоритм Евклида для многочленов.
5. Приводимые и неприводимые многочлены. Теорема об однозначном разложении на множители.
6. Корни многочленов. Теорема Безу и её следствие.
7. Схема Горнера.
8. Производная многочлена. Вычисление значения многочлена и его производных.
Раздел: Алгебраическое расширение поля
1. Алфавитное кодирование. Разделимые и префиксные схемы. Кодовое дерево. Неравен-ство Макмиллана.
2. Кодирование с минимальной избыточностью. Алгоритм Фано.
3. Коды с обнаружением и исправлением ошибок. Кодовое расстояние. Расстояние Хэм-минга.
4. Код Хэмминга для исправления одного замещения.
5. Поле. Свойства поля. Доказательство одного из свойств (по указанию преподавателя).
6. Поле комплексных чисел. Изоморфизм полей комплексных и действительных чисел.
7. Подполе. Критерий подполя. Алгебраическое расширение поля.
8. Конечные расширения полей.
Примерный перечень тем тестов:
Тема 1. Отношение делимости, его простейшие свойства.
Тема 2. Отношение делимости.
Тема 3. Теорема о делении с остатком.
Тема 4. НОД и НОК чисел.
Тема 5. Кольцо классов вычетов
Тема 6. Полная система остатков, её виды.
Тема 7. Отношение делимости многочленов. Теорема о делении с остатком. Деление на двучлен, схема Горнера. Корни многочлена, теорема Безу.
Тема 8. Кольцо многочленов от одной переменной. Приводимые и неприводимые многочлены. Теорема об однозначном разложении на множители. Производная многочлена. Вычисление значения многочлена и его производных.
Тема 9. Отношение делимости многочленов.
Тема 10. Корни многочлена. Теорема Безу
Тема 11. НОД и НОК многочленов
Тема 12. Понятие поля. Поле комплексных чисел. Расширения полей. Конечные поля.Строение простого алгебраического расширения.
Тема 13. Комплексные числа.
Примерные темы контрольных работ:
1. НОД, НОК: алгоритм Евклида; расширенный алгоритм Евклида.
2. Линейное представление НОД. Связь НОК и НОД. Линейные диофантовы уравнения.
3. Основная теорема арифметики.
4. Цепные дроби и их приложения
5. Разложение целых чисел на множители
6. Китайская теорема об остатках.
Общероссийский математический портал http://www.mathnet.ru/
Лекционный курс предполагает систематизированное изложение основных вопросов учебного плана.
На первой лекции лектор обязан предупредить обучающихся, применительно к какому базовому учебнику (учебникам, учебным пособиям) будет прочитан курс.
Лекционный курс должен давать наибольший объем информации и обеспечивать более глубокое понимание учебных вопросов при значительно меньшей затрате времени, чем это требуется большинству обучающихся на самостоятельное изучение материала.
1.Учесть при проведении лекции связь теоретического материала с требованиями ФГОС (системно-деятельностный принцип; индивидуальная траектория развития обучающихся; достижение метапредметных результатов).
2. Учесть профиль подготовки бакалавров, так как курс разработан для 2-х профильного бакта.
Методические указания для обучающихся при подготвоке к выполнению самостоятельной работы:
Самостоятельная работа обучающихся – это процесс активного, целенаправленного приобретения обучающимся новых знаний, умений без непосредственного участия преподавателя, характеризующийся предметной направленностью, эффективным контролем и оценкой результатов деятельности обучающегося.
Цели самостоятельной работы:
•систематизация и закрепление полученных теоретических знаний и практических умений обучающихся;
•углубление и расширение теоретических знаний;
•формирование умений использовать нормативную и справочную документацию, специальную литературу;
•развитие познавательных способностей, активности обучающихся, ответственности и организованности;
•формирование самостоятельности мышления, творческой инициативы, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации;
•развитие исследовательских умений и академических навыков.
Самостоятельная работа может осуществляться индивидуально или группами обучающихся в зависимости от цели, объема, уровня сложности, конкретной тематики.
Технология организации самостоятельной работы обучающихся включает использование информационных и материально- технических ресурсов образовательного учреждения.
Перед выполнением обучающимися внеаудиторной самостоятельной работы преподаватель может проводить инструктаж по выполнению задания. В инструктаж включается:
•цель и содержание задания;
•сроки выполнения;
•ориентировочный объем работы;
•основные требования к результатам работы и критерии оценки;
•возможные типичные ошибки при выполнении.
Инструктаж проводится преподавателем за счет объема времени, отведенного на изучение дисциплины.
Контроль результатов внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся может проходить в письменной, устной или смешанной форме.
Обучающиеся должны подходить к самостоятельной работе как к наиважнейшему средству закрепления и развития теоретических знаний, выработке единства взглядов на отдельные вопросы курса, приобретения определенных навыков и использования профессиональной литературы.
Помещения для самостоятельной работы обучающихся должны быть оснащены компьютерной техникой с возможностью подключения к сети «Интернет» и обеспечением доступа в электронную информационно-образовательную среду организации.
При самостоятельной проработке курса обучающиеся должны:
•просматривать основные определения и факты;
•повторить законспектированный на лекционном занятии материал и дополнить его с учетом рекомендованной по данной теме литературы;
•изучить рекомендованную литературу, составлять тезисы, аннотации и конспекты наиболее важных моментов;
•самостоятельно выполнять задания, аналогичные предлагаемым на занятиях;
•использовать для самопроверки материалы фонда оценочных средств;
•выполнять домашние задания по указанию преподавателя.
Методические указания для практических занятий (семинарские занятия):
Семинарские занятия представляют собой детализацию лекционного теоретического материала, проводятся в целях закрепления курса и охватывают все основные разделы.
Основной формой проведения семинаров является обсуждение наиболее проблемных и сложных вопросов по отдельным темам, а также разбор примеров и ситуаций в аудиторных условиях. В обязанности преподавателя входят: оказание
методической помощи и консультирование обучающихся по соответствующим темам курса.
Активность на семинарских занятиях оценивается по следующим критериям:
•ответы на вопросы, предлагаемые преподавателем;
•участие в дискуссиях;
•ассистирование преподавателю в проведении занятий.
Ответ должен быть аргументированным, развернутым, не односложным, содержать ссылки на источники.
Доклады и оппонирование докладов проверяют степень владения теоретическим материалом, а также корректность и строгость рассуждений.
Оценивание заданий, выполненных на семинарском занятии, входит в накопленную оценку.
Содержание данного курса позволяет наряду с лекционными занятиями проводить практические занятия, направленные на освоение систем компьютерной алгебры при изучении абстрактной и компьютерной алгебры. На практических занятиях целесообразно применять систему аналитических вычислений Maxima. Для этого необходимо научить обучающихся пользоваться данной программой. С этой целью нами были разработаны этапы обучения решению примеров с помощью Maxima, которые мы применяем при проведении практических занятий с обучающимися факультета математики и информатики. При решении примеров абстрактной алгебры во время работы с обучающимися необходимо применять элементы программирования для написания новых функций. Поэтому на базе самой системы нами был разработан учебник-практикум по применению Maxima в математической подготовке обучающихся. Учебник рассчитан на самостоятельную работу во время практических занятий.
Значительную роль в изучении абстрактной и компьютерной алгебры выполняют практические занятия, которые призваны, прежде всего, закреплять теоретические знания, полученные в ходе прослушивания и запоминания лекционного материала, ознакомления с учебной и научной литературой, а также выполнения самостоятельных заданий. Практические занятия способствуют получению наиболее качественных знаний, помогают приобрести навыки самостоятельной работы.
Перед практическим занятием следует изучить конспект лекции и рекомендованную преподавателем литературу, обращая внимание на практическое применение теории и на методику решения типовых задач. Очень важно понять связь решаемых задач с теоретическими положениями. При решении предложенной задачи нужно стремиться не только получить правильный ответ, но и усвоить общий метод решения предложенных задач.
Рекомендации по подготовке к зачету
При подготовке к зачету (в конце семестра) повторять пройденный материал в строгом соответствии с учебной программой, примерным перечнем учебных вопросов, выносящихся на зачет и содержащихся в данной программе. Использовать конспект лекций и литературу, рекомендованную преподавателем. Обратить особое внимание на темы учебных занятий, пропущенных обучающимся по разным причинам. При необходимости обратиться за консультацией и методической помощью к преподавателю.
Готовиться к зачету необходимо последовательно, с учетом вопросов, разработанных преподавателем. Сначала следует определить место каждого контрольного вопроса в соответствующем разделе темы учебной программы, а затем внимательно прочитать и осмыслить рекомендованные научные работы, соответствующие разделы рекомендованных учебников. При этом полезно делать хотя бы самые краткие выписки и заметки. Работу над темой можно считать завершенной, если вы сможете ответить на все контрольные вопросы и дать определение понятий по изучаемой теме.
Для обеспечения полноты ответа на контрольные вопросы и лучшего запоминания теоретического материала рекомендуется составлять план ответа на контрольный вопрос. Это позволит сэкономить время для подготовки непосредственно перед зачетом за счет обращения не к литературе, а к своим записям.